SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học: 2013 – 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút


Bài I (2,0 điểm)
Với x > 0, cho hai biểu thức
và
.
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm x để
.
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:

2) Cho parabol (P) : y =
x2 và đường thẳng (d) : y = mx (
m2 + m +1.
a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P).
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho
.
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O).
1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
2) Chứng minh AN2 = AB.AC.
Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm.
3) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC.
4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài V (0,5 điểm)
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc, chứng minh:



BÀI GIẢI
Bài I: (2,0 điểm)
1) Với x = 64 ta có

2)



3)
Với x > 0 ta có :



Bài II: (2,0 điểm)
Đặt x (km/h) là vận tốc đi từ A đến B, vậy vận tốc đi từ B đến A là
(km/h)
Do giả thiết ta có:






(vì x > 0)

Bài III: (2,0 điểm)
1) Hệ phương trình tương đương với:



2)
a) Với m = 1 ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là



(Do a – b + c = 0)
Ta có y (-1)=
; y(3) =
. Vậy tọa độ giao điểm A và B là (-1;
) và (3;
)
b) Phươnh trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là


(*)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
,
thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó

Khi m > -1 ta có






Cách giải khác: Khi m > -1 ta có




Do đó, yêu cầu bài toán




Bài IV (3,5 điểm)
1/ Xét tứ giác AMON có hai góc đối


nên là tứ giác nội tiếp
2/ Hai tam giác ABM và AMC đồng dạng
nên ta có AB. AC = AM2 = AN2 = 62 = 36




3/
(cùng chắn cung MN trong đường tròn (O)), và

(do 3 điểm N, I, M cùng nằm trên đường tròn đường kính AO và cùng chắn cung 900)
Vậy
nên MT // AC do có hai góc so le bằng nhau.
4/ Xét
có AI vuông góc với KO. Hạ OQ vuông góc với AK. Gọi H là giao điểm của OQ và AI thì H là trực tâm của
, nên KMH vuông góc với AO.